Question

【題目】已知兩圓的圓心分別為，P為一個動點，且直線的斜率之積為.

（Ⅰ）求動點P的軌跡M的方程；

（Ⅱ）是否存在過點A(2，0)的直線l與軌跡M交于不同的兩點C、D，使得？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）＋y2＝1(x≠0)（2）不存在

【解析】

(1)兩圓的圓心坐標分別為C1(0，1)，和C2(0，－1)，

設(shè)動點P的坐標為(x，y)，則直線PC1，PC2的斜率分別為(x≠0)和(x≠0)．

由已知條件得＝－(x≠0)，即＋y2＝1(x≠0)．

所以動點P的軌跡M的方程為＋y2＝1(x≠0)．

(2)假設(shè)存在滿足條件的直線l，易知點A(2，0)在橢圓M的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓M無交點，此時不符合題意，所以直線l斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y＝k(x－2)．

聯(lián)立方程組得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0，①

依題意Δ＝－8(2k2－1)>0，解得－<k<.

當－<k<時，設(shè)交點分別為C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中點為N(x0，y0)，

則x1＋x2＝，則x0＝＝，

所以y0＝k(x0－2)＝k＝.

要使|C1C|＝|C1D|，必須C1N⊥l，即k·kC1N＝－1，

所以k·＝－1，即k2－k＋＝0，

因為Δ1＝1－4×＝－1<0，∴k2－k＋＝0無解，

所以不存在直線，使得|C1C|＝|C1D|，

綜上所述，不存在直線l，使得|C1C|＝|C1D|.