Question

18．規(guī)定$A_x^m=x（x-1）…（x-m+1）$，其中x∈R，m為正整數(shù)，且$A_x^0$=1，這是排列數(shù)A${\;}_{n}^{m}$（n，m是正整數(shù)，n≤m）的一種推廣．
（Ⅰ） 求A${\;}_{-9}^{3}$的值；
（Ⅱ）排列數(shù)的性質(zhì)：A${\;}_{n}^{m}$+mA${\;}_{n}^{m-1}$=A${\;}_{n+1}^{m}$（其中m，n是正整數(shù)）．是否都能推廣到A${\;}_{x}^{m}$（x∈R，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由；
（Ⅲ）已知函數(shù)f（x）=A${\;}_{x}^{3}$-4lnx-m，試討論函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題目中的公式，計算A${\;}_{-9}^{3}$的值即可；
（Ⅱ）性質(zhì)可推廣，寫出推廣的形式是$A_x^m$$+mA_x^{m-1}$=$A_{x+1}^m$（x∈R，m∈N^*），再證明即可：
（Ⅲ）化簡f（x），構(gòu)造函數(shù)g（x），由f（x）零點的個數(shù)轉(zhuǎn)化為求g（x）與y=m交點的個數(shù)即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，得；
$A_{-9}^3=-9×（-10）×（-11）=-990$；…（2分）
（Ⅱ）性質(zhì)可推廣，推廣的形式是$A_x^m$$+mA_x^{m-1}$=$A_{x+1}^m$（x∈R，m∈N^*）；  …（4分）
證明：當(dāng)m=1時，左邊=$A_x^1+A_x^0=x+1=A_{x+1}^1$=右邊，等式成立；
當(dāng)m≥2時，左邊=x（x-1）…（x-m+1）+mx（x-1）…（x-m+2）
=x（x-1）…（x-m+2）（x-m+1+m）
=（x+1）x（x-1）…（x-m+2）
=（x+1）x（x-1）…[（x+1）-m+1）]
=$A_{x+1}^m$=右邊；
因此，$A_x^m$$+mA_x^{m-1}$=$A_{x+1}^m$（x∈R，m∈N^*）成立；…（7分）
（Ⅲ）$f（x）=A_x^3-4lnx-m=x（x-1）（x-2）-4lnx-m={x^3}-3{x^2}+2x-4lnx-m$
設(shè)函數(shù)g（x）=x³-3x²+2x-4lnx，g（x）的定義域為（0，+∞），…（8分）
則函數(shù)f（x）零點的個數(shù)等價于函數(shù)g（x）與y=m公共點的個數(shù)；${g^'}（x）=3{x^2}-6x+2-\frac{4}{x}=\frac{{3{x^3}-6{x^2}+2x-4}}{x}=\frac{{3{x^2}（x-2）+2（x-2）}}{x}=\frac{{（x-2）（3{x^2}+2）}}{x}$，
令g′（x）=0，得x=2，所以g（x）在（0，2）上單減，在（2，+∞）上單增；
故g（x）的最小值為g（2）=-4ln2；…（10分）
∴當(dāng)m＜-4ln2時，函數(shù)g（x）與y=m沒有公共點，即函數(shù)f（x）不存在零點，
當(dāng)m=-4ln2時，函數(shù)g（x）與y=m有一個公共點，即函數(shù)f（x）有且只有一個零點，
當(dāng)m＞-4ln2時，函數(shù)g（x）與y=m有兩個公共點，即函數(shù)f（x）有且只有兩個零點．
…（12分）

點評 本題考查了新定義的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，考查了排列數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合性問題．