Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2，點(diǎn)M，N分別為邊PA，BC的中點(diǎn)．建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
（1）求異面直線AN與MD所成角的余弦值；
（2）求點(diǎn)B到平面MND的距離．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，給出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出

AN

，

MD

的坐標(biāo)表示，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求向量夾角的余弦值；
（2）利用正弦定理求△MND的面積，利用三棱錐的換底性，求B到平面MND的距離．

解答：解：（1）建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），N（1，

1

2

，0），M（0，0，1），
∴

AN

=（1，

1

2

，0）；

MD

=（0，1，-1）
cos＜

AN

，

MD

＞=

AN • MD

| AN || MD |

=

1 2

2 × 5 2

=

10

10

，
∴異面直線AN與MD所成角的余弦值為

10

10

．
（2）連接BD，MD，設(shè)點(diǎn)B到平面MND的距離為H，
MD=

2

，MN=

1+1+ 1 4

=

3

2

，DN=

1 4 +1

=

5

2

，
∴cos∠MDN=

2+ 5 4 - 9 4

2× 2 × 5 2

=

10

10

，
∴sin∠MDN=

3 10

10

，
S_△MDN=

1

2

×MD×ND×sin∠MDN=

1

2

×

2

×

5

2

×

3 10

10

=

3

4

．
V_B-MND=V_M-BDN⇒

1

3

×

3

4

×H=

1

3

×

1

2

×

1

2

×1×1⇒H=

1

3

．
∴點(diǎn)B到平面MND的距離為

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查了向量法求異面直線所成角的余弦值，考查了利用三棱錐的換底性求點(diǎn)到平面的距離，解答本題的關(guān)鍵是利用正弦定理與余弦定理求△MND的面積，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．