Question

4．已知函數$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，-\frac{π}{2}≤φ＜\frac{π}{2}}）$的最大值為$\sqrt{2}$，圖象關于$x=\frac{π}{3}$對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π．
（1）求f（x）的解析式，并寫出f（x）的單調增區(qū)間．
（2）若把f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位，橫坐標伸長為原來的2倍得y=g（x）圖象當x∈[0，1]時，試證明，g（x）≥x．

Answer 1

分析 （1）根據函數$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，-\frac{π}{2}≤φ＜\frac{π}{2}}）$的最大值為$\sqrt{2}$，圖象關于$x=\frac{π}{3}$對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，求出相應的參數，即可求f（x）的解析式，并寫出f（x）的單調增區(qū)間．
（2）當x∈[0，1]時，要證g（x）≥x，即證$sinx≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，令$φ（x）=sinx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，x∈[0，1]，確定函數的單調性，求最值，即可證明結論．

解答 （1）解：∵$A=\sqrt{2}$，$T=π=\frac{2π}{ω}$，∴ω=2
又∵$\frac{2π}{3}+φ=kπ-\frac{π}{2}（{k∈Z}）$
而$φ∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，∴$φ=-\frac{π}{6}$，∴$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{6}}）$
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z）∴$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，（k∈Z）
則f（x）的增區(qū)間為$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]$，（k∈Z）
（2）證明：∵$g（x）=\sqrt{2}sinx$
當x∈[0，1]時，要證g（x）≥x，即證$sinx≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$
令$φ（x）=sinx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，x∈[0，1]，
∵$φ'（x）=cosx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
當φ'（x）=0，得$x=\frac{π}{4}$
當$x∈[{0，\frac{π}{4}}）$時，φ'（x）＞0，即φ（x）遞增$x∈（{\frac{π}{4}，1}]$時，φ'（x）＜0，即φ（x）遞減，
∴$φ{（x）_{max}}=min\left\{{φ（0），φ（1）}\right\}=min\left\{{0，sin1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\right\}=0$，
則φ（x）≥0，即$sinx≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，
故g（x）≥x．

點評 本題考查三角函數解析式的確定，考查三角函數的圖象與性質，考查不等式的證明，正確構造函數是關鍵．