Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=

an+an+1

2

，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n，證明：{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）先令n=1求出b₁，然后當n≥2時，求出a_n+1的通項代入到b_n中化簡可得{b_n}是以1為首項，-

1

2

為公比的等比數(shù)列得證；
（2）由（1）找出b_n的通項公式，當n≥2時，利用a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）代入并利用等比數(shù)列的前n項和的公式求出即可得到a_n的通項，然后n=1檢驗也符合，所以n∈N，a_n都成立．

解答：解：（1）證b₁=a₂-a₁=1，
當n≥2時，bn=an+1-an=

an-1+an

2

-an=-

1

2

(an-an-1)=-

1

2

bn-1，
所以{b_n}是以1為首項，-

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）解由（1）知bn=an+1-an=(-

1

2

)n-1，
當n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=1+1+（-

1

2

）+…+(-

1

2

)n-2
=1+

1-(- 1 2 )n-1

1-(- 1 2 )

=1+

2

3

[1-(-

1

2

)n-2]=

5

3

-

2

3

(-

1

2

)n-1，
當n=1時，

5

3

-

2

3

(-

1

2

)1-1=1=a1．
所以an=

5

3

-

2

3

(-

1

2

)n-1(n∈N*)．

點評：考查學生會確定一個數(shù)列為等比數(shù)列，會利用數(shù)列的遞推式的方法求數(shù)列的通項公式．以及會利用等比數(shù)列的前n項和的公式化簡求值．