Question

當(dāng)x＞1時(shí)，不等式x+

1

x-1

≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A．（-∞，2]

B．[2，+∞）

C．[3，+∞）

D．（-∞，3]

Answer 1

分析：由題意當(dāng)x＞1時(shí)，不等式x+

1

x-1

≥a恒成立，由于x+

1

x-1

的最小值等于3，可得a≤3，從而求得答案．

解答：解：∵當(dāng)x＞1時(shí)，不等式x+

1

x-1

≥a恒成立，
∴a≤x+

1

x-1

對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x＞1均成立．
由于x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1≥2+1=3，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，
故x+

1

x-1

的最小值等于3，
∴a≤3，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，3]．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查查基本不等式的應(yīng)用以及函數(shù)的恒成立問(wèn)題，求出x+

1

x-1

的最小值是解題的關(guān)鍵．