Question

若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+n+1（n∈N⁺）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設函數(shù)g（x）=log₂x，若{g（b_n）}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用當n=1時，a₁=S₁．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（2）先求出b_n=2ⁿ，再利用錯位相減法，即可求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和為T_n．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=3；                                …（1分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n+1）-[（n-1）²+（n-1）+1]=2n，
當n=1時，2n=2≠a₁，
∴a_n=

3，n=1 2n．n≥2

                              …（5分）
（2）∵{g（b_n）}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴g（b_n）=n，
∵g（x）=log₂x，
∴l(xiāng)og₂b_n=n，
∴b_n=2ⁿ，
∴T₁=a₁•b₁=6  …（7分）
當n≥2時，a_n•b_n=n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=6+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹         ①
2T_n=6×2+2×2⁴+3×2⁵+…+n•2ⁿ⁺²   ②…（9分）
由②-①有T_n=-10-（2⁴+2⁵…+2ⁿ⁺¹）+n•2ⁿ⁺²=6+（n-1）•2ⁿ⁺²，③…（11分）
∴n=1也滿足上式，
因此T_n=6+（n-1）•2ⁿ⁺²．                        …（12分）

點評：本題考查數(shù)列{a_n}的通項公式，考查錯位相減法，確定數(shù)列的通項，正確運用求和公式是關鍵．