Question

是否存在實數a，b使得關于n的等式1²+2²+3²+…+n²=

n(an+1)(bn+1)

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，n∈N^*成立？若存在，求出a，b的值并證明等式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：存在a=1，b=2使得關于n的等式1²+2²+3²+…+n²=

n(an+1)(bn+1)

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，n∈N^*成立．證明時先證：（1）當n=1時成立．（2）再假設n=k（k≥1）時，成立，遞推到n=k+1時，成立即可．

解答： 解：存在a=1，b=2使得關于n的等式1²+2²+3²+…+n²=

n(an+1)(bn+1)

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，n∈N^*成立
證明如下：
①當n=1時，等式成立．
②假設n=k（k∈N^*）時等式成立，
即1²+2²+3²+…k²=

k(k+1)(2k+1)

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；
當n=k+1時，1²+2²+3²+…+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

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+（k+1）²=

(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

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即n=k+1時，等式成立．
因此存在a=1，b=2使得關于n的等式1²+2²+3²+…+n²=

n(an+1)(bn+1)

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，n∈N^*成立．

點評：本題主要考查研究存在性問題和數學歸納法，對存在性問題先假設存在，再證明是否符合條件，數學歸納法的關鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設的模型才能成立．