Question

已知：三定點A(-，0)、B(，0)、c(-，0)，動圓M與線段AB相切于點N，

且|AN|-|BN|=，現(xiàn)分別過點A、B作動圓M的切線，兩切線交于點P．

(1)求動點P的軌跡方程；

(2)直線3x-3my-2=0截動點戶的軌跡所得弦長為2，求m的值；

(3)求證：∠PAB=2∠PCB．

Answer 1

解：(1)由平幾知識得：

|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=＞|AB|=

∴動點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線(部分) 

設(shè)它的方程為=1(x＞a)，則

解得:,

故所求的方程為=1(x＞)

(2)設(shè)直線3x-3my-2=0與動點P的軌跡相交于點Q₁(x₁，y₁)、Q₂(x₂，y₂)，

∵直線3x-3my-2=0恒過雙曲線的焦點B

∴由雙曲線定義知：

|Q₁Q₂|=e(x₁+x₂-)=2(x₁+x₂-)=2

∴x₁+x₂=

若m=0，則x₁=x₂=，此時x₁+x₂=，即|Q₁Q₂|=2合題意

若m≠0，由

消去y得：9x²-3()²=1，化簡得：

(27m²-9)x²+12x-3m²-4=0，x₁+x₂=

解得m=0與m≠0矛盾．  ∴m=0

 (3)當x=時，|BP|=1，|BC|=1，此時∠PCB=45°，

∠PBC=90°命題成立

當x≠時，設(shè)P(x，y)

則y²=-3(-x²)，且tan∠PCB=

∴tan2∠PCB=

=

而tan∠PBC=-tan∠PBx=

∴tan2∠PCB=tan∠PBC

又∵0＜∠PBC＜π，  0＜2∠PBC＜π

∴2∠PCB=∠PBC