Question

20．一個(gè)圓經(jīng)過橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x$±\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 由橢圓的方程求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)一步求出圓的半徑可得圓的方程．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可知橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)（4，0），上下頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，±2），
∵圓經(jīng)過橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸上．
當(dāng)圓經(jīng)過橢圓右頂點(diǎn)及短軸兩端點(diǎn)時(shí)，
設(shè)圓的圓心（a，0），則$\sqrt{{a}^{2}+4}=4-a$，解得a=$\frac{3}{2}$，
圓的半徑為：$\frac{5}{2}$，
所求圓的方程為：（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$；
當(dāng)圓經(jīng)過橢圓左頂點(diǎn)及短軸兩端點(diǎn)時(shí)，
討論可得圓的方程為：（x+$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$．
故答案為：（x$±\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，圓的方程的求法，考查計(jì)算能力，是中檔題．