Question

設(shè)函數(shù)，
（1）證明：當(dāng)0＜a＜b，且f（a）=f（b）時(shí)，ab＞1；
（2）點(diǎn)P （x，y） （0＜x＜1 ）在曲線y=f（x）上，求曲線在點(diǎn)P處的切線與x軸和y軸的正向所圍成的三角形面積表達(dá)式（用x表達(dá)）．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）中含有絕對值，按x≥1和x＜1兩段去絕對值，易判f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是單調(diào)函數(shù)，
由f（a）=f（b）可得a＜1，b＞1，代入f（x）中可得a和b的關(guān)系．
（2）曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為f′（x），由點(diǎn)斜式寫出切線方程，分別令x=0和y=0求出切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，
再用三角形面積公式求面積．
解答：證明：（I）∵
故f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，而在（1，+∞）上是增函數(shù)，由0＜a＜b且f（a）=f（b）得0＜a＜1＜b和
故
（II）0＜x＜1時(shí)，
曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x，y）處的切線方程為：
∴切線與x軸、y軸正向的交點(diǎn)為
故所求三角形面積聽表達(dá)式為：
點(diǎn)評：本題考查含有絕對值的函數(shù)問題、基本不等式、導(dǎo)數(shù)、切線等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，考查對知識(shí)的運(yùn)用能力．