Question

4．已知數列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*）．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記S_n為數列{a_n}的前n項和，b_n=（1-$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$）$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$，求證：b₁+b₂+…+b_n$＜\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），兩邊取倒數可得：$\frac{1}{（n+1）{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{n{a}_{n}}$=1，利用等差數列的通項公式即可得出；
（II）由（I）可得：a_n=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．可得S_n=$\frac{n}{n+1}$．$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\frac{{n}^{2}+2n}{（n+1）^{2}}$＜1，可得b_n=（1-$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$）$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$=$（\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n+1}}）$$•\frac{{S}_{n}}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$=$（\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}）$$（\frac{\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{n+1}}}+\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}）$＜$2（\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}）$．即可得出．

解答 （I）解：由a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），兩邊取倒數可得：$\frac{1}{（n+1）{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{n{a}_{n}}$=1，
∴數列$\{\frac{1}{n{a}_{n}}\}$是等差數列，首項為2，公差為1，
∴$\frac{1}{n{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
（II）證明：由（I）可得：a_n=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
S_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\frac{{n}^{2}+2n}{（n+1）^{2}}$＜1
∴b_n=（1-$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$）$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$=$（\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n+1}}）$$•\frac{{S}_{n}}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$=$（\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}）$$（\frac{\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{n+1}}}+\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}）$＜$2（\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}）$．
∴b₁+b₂+…+b_n＜$2[（\frac{1}{\sqrt{{S}_{1}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{2}}}）$+$（\frac{1}{\sqrt{{S}_{2}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{3}}}）$+…+$（\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}）]$=2$（\frac{1}{\sqrt{{S}_{1}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}）$=2$（\sqrt{2}-\sqrt{\frac{n+2}{n+1}}）$＜2$（\sqrt{2}-\sqrt{\frac{3}{2}}）$＜$\frac{4}{5}$．
∴b₁+b₂+…+b_n$＜\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了“裂項求和”方法、“放縮法”、等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．