Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（1，0），若曲線C上存在一點(diǎn)P，使∠APB為鈍角，則稱曲線上有鈍點(diǎn)，下列曲線中“有鈍點(diǎn)的曲線”是

 

（寫出所有滿足條件的編號）
①x²=4y；
②

x2

3

+

y2

2

=1；
③x²-y²=1；
④（x-2）²+（y-2）²=4；
⑤3x+4y=4．

Answer 1

考點(diǎn)：曲線與方程

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：在平面直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（1，0），若曲線C上存在一點(diǎn)P，使∠APB為鈍角，則P在圓：x²+y²=1的內(nèi)部，對選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，即可得出結(jié)論．

解答： 解：在平面直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（1，0），若曲線C上存在一點(diǎn)P，使∠APB為鈍角，則P在圓：x²+y²=1的內(nèi)部，
①x²=4y，顯然在圓：x²+y²=1的內(nèi)部存在點(diǎn)P，故是“有鈍點(diǎn)的曲線”；
②圓：x²+y²=1在

x2

3

+

y2

2

=1的內(nèi)部，故不存在一點(diǎn)P，使∠APB為鈍角，故不是“有鈍點(diǎn)的曲線”；
③x²-y²=1與圓：x²+y²=1相交于A（-1，0），B（1，0），其余點(diǎn)在圓的外部，故不存在一點(diǎn)P，使∠APB為鈍角，故不是“有鈍點(diǎn)的曲線”；
④（x-2）²+（y-2）²=4與圓：x²+y²=1相交，故存在一點(diǎn)P，使∠APB為鈍角，故是“有鈍點(diǎn)的曲線”；
⑤圓心到直線的距離為

4

5

＜1，所以3x+4y=4與圓：x²+y²=1相交，故存在一點(diǎn)P，使∠APB為鈍角，故是“有鈍點(diǎn)的曲線”．
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評：本題考查曲線與方程，考查新定義，若曲線C上存在一點(diǎn)P，使∠APB為鈍角，則P在圓：x²+y²=1的內(nèi)部，是解題的關(guān)鍵．