Question

18．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+n-1，n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+n-1，n∈N^*．變形為a_n+1+n+1=2（a_n+n），n∈N^*．即可證明．
（2）由（1）得a_n+n=2ⁿ，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：由a_n+1=2a_n+n-1，n∈N^*．
可得a_n+1+n+1=2（a_n+n），n∈N^*．
又a₁+1=2，所以數(shù)列{a_n+n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）得a_n+n=2ⁿ，
故a_n=2ⁿ-n，
所以數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．