Question

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求面ACD和面BCE所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等腰三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明；
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量所成的夾角即可得出二面角的大�。�

解答：（Ⅰ）證明：∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又∵AC=AD，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD．
又∵CD∩DE=D，AF⊥平面CDE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：平面ACD⊥平面CDE．
取CE的中點(diǎn)Q，連接FQ，∴FQ∥DE，
∴FQ⊥平面ACD．于是可得FD，F(xiàn)Q，F(xiàn)A兩兩垂直，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則F（0，0，0），C（-1，0，0），A(0，0，

3

)，B(0，1，

3

)，E（1，2，0）．
∴

CB

=(1，1，

3

)，

CE

=(2，2，0)，
設(shè)平面BCE的法向量

n

=(x，y，z)，則

n • CB =0 n • CE =0

，化為

x+y+ 3 z=0 2x+2y=0

，
令x=1，則y=-1，z=0，∴

n

=(1，-1，0)，
∵FQ⊥平面ACD，于是可取平面ACD的法向量為

FQ

=(0，1，0)．
．
∴|cos＜

n

，

FQ

＞|=

| n • FQ |

| n | | FQ |

=

1

2

=

2

2

．
∴平面ACD和平面BCE所成銳二面角為45°．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、面面、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系并利用兩個(gè)平面的法向量所成的夾角求二面角的方法是解題的關(guān)鍵．