Question

2．已知曲線C₁：ρ=4cosθ．
（1）在極坐標系中，與曲線C₁相切的一條直線方程為B
A．ρcosθ=2   B．ρsinθ=2   C．ρ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$）   D．ρ=4sin（θ-$\frac{π}{3}$）
（2）已知曲線C₁的極坐標方程為：ρcosθ=3，則曲線C₁與C₂交點的極坐標為（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）或（2$\sqrt{3}$，-$\frac{π}{6}$）．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：ρ=4cosθ是以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓，分別求出四個選項中的直角坐標方程，由此能求出結(jié)果．
（2）曲線C₂的直角坐標方程為x=3，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，先求出曲線C₁與C₂交點的直角坐標，再求出曲線C₁與C₂交點的極坐標．

解答 解：（1）∵曲線C₁：ρ=4cosθ，
∴ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4，
即曲線C₁是以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓，
在A中，ρcosθ=2是直線x=2，圓心（2，0）在直線x=2上，故ρcosθ=2與曲線C₁不相切，故A錯誤；
在B中，ρsinθ=2是直線y=2，圓心（2，0）到直線y=2的距離d=2=r，故ρcosθ=2與曲線C₁相切，故B正確；
在C中，ρ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$）=2sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ，∴${ρ}^{2}=2ρsinθ+2\sqrt{3}ρcosθ$，
∴直角坐標方程為：x²+y²-2$\sqrt{3}$x-2y=0，是以（$\sqrt{3}$，1）為圓心，以2為半徑的圓，故C錯誤；
在D中，ρ=4sin（θ-$\frac{π}{3}$）=2sin$θ-2\sqrt{3}cosθ$，∴${ρ}^{2}=2ρsinθ-2\sqrt{3}ρcosθ$，
∴直角坐標方程為${x}^{2}+{y}^{2}-2y+2\sqrt{3}x$=0，是以（-$\sqrt{3}$，1）為圓心，以2為半徑的圓，故D錯誤．
故選：B．
（2）∵曲線C₂的極坐標方程為ρcosθ=3，
∴曲線C₂的直角坐標方程為x=3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得x=3，y=$\sqrt{3}$，或x=3，y=-$\sqrt{3}$．
當(dāng)x=3，y=$\sqrt{3}$時，$ρ=\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，cosθ=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（3，$\sqrt{3}$）在第一象限，∴θ=$\frac{π}{6}$；
當(dāng)x=3，y=-$\sqrt{3}$時，$ρ=\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，cosθ=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（3，-$\sqrt{3}$）在第四象限，∴θ=-$\frac{π}{6}$．
∴曲線C₁與C₂交點的極坐標為（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）或（2$\sqrt{3}$，-$\frac{π}{6}$）．
故答案為：（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）或（2$\sqrt{3}$，-$\frac{π}{6}$）．

點評 本題考查直線與圓相切的判斷，考查曲線C₁與C₂交點的極坐標的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意極坐標方程和直角坐標方程互化公式的合理運用．