Question

如圖，在60°的二面角α-l-β內(nèi)取點(diǎn)A，在半平面α，β中分別任取點(diǎn)B，C．若A到棱l的距離為d，則△ABC的周長(zhǎng)的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：作A關(guān)于平面α和β的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M和N，連接MN，AM交平面α于D，AN交平面β于E，連接DE，△ABC周長(zhǎng)L=AB+AC+BC=BM+CN+BC．由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可以得出要使△PBC周長(zhǎng)最小，M、B、C、N在一條直線(xiàn)上．△ABC周長(zhǎng)L=MN=2DE．由此能求出△ABC周長(zhǎng)的最小值．

解答： 解：作A關(guān)于平面α和β的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M和N，
連接MN，AM交平面α于D，AN交平面β于E，連接DE，
△ABC周長(zhǎng)L=AB+AC+BC=BM+CN+BC
由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可以得出要使△PBC周長(zhǎng)最小，
M、B、C、N在一條直線(xiàn)上．
△ABC周長(zhǎng)L=MN=2DE
把三角形ADE另作一圖，作A關(guān)于DO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，
A關(guān)于EO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，
連接D′O，E′O，D′D，E′E，D′E′，
∵二面角α-l-β的大小為60°，
∴∠DOE=60°，
∴∠D′OE′=120°
D′E′=2DE
∵AO=d
∴D′O=E′O=d
∴D′E′=

3

d，
△ABC周長(zhǎng)的最小值L_min=MN=2DE=D′E′=

3

d．
故答案為：

3

d．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形周長(zhǎng)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)和數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．