【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足:
對(duì)于任意,都有成立.
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
②設(shè)數(shù)列,問:數(shù)列中是否存在三項(xiàng),使得它們構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出這三項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1),.(2)①,.②見解析.
【解析】分析:(1)當(dāng)時(shí),類比寫出,兩式相減整理得,當(dāng)時(shí),求得,從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.;
(2)①將代入已知條件,用與(1)相似的方法,變換求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
②由的通項(xiàng)公式分析,得…,假設(shè)存在三項(xiàng),,成等差數(shù)列,且,則,即,根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性,化簡(jiǎn)得,將或代入已知條件,即可得到結(jié)論.
詳解:解:(1)由, ①
得, ②
由①-②得,即,
對(duì)①取得,,所以,所以為常數(shù),
所以為等比數(shù)列,首項(xiàng)為1,公比為,即,.
(2)①由,可得對(duì)于任意有
, ③
則, ④
則, ⑤
由③-⑤得,
對(duì)③取得,也適合上式,
因此,.
②由(1)(2)可知,
則,
所以當(dāng)時(shí),,即,
當(dāng)時(shí),,即在且上單調(diào)遞減,
故…,
假設(shè)存在三項(xiàng),,成等差數(shù)列,其中,,,
由于…,可不妨設(shè),則(*),
即,
因?yàn)?/span>,,且,則且,
由數(shù)列的單調(diào)性可知,,即,
因?yàn)?/span>,所以,
即,化簡(jiǎn)得,
又且,所以或,
當(dāng)時(shí),,即,由時(shí),,此時(shí),,不構(gòu)成等差數(shù)列,不合題意,
當(dāng)時(shí),由題意或,即,又,代入(*)式得,
因?yàn)閿?shù)列在且上單調(diào)遞減,且,,所以,
綜上所述,數(shù)列中存在三項(xiàng),,或,,構(gòu)成等差數(shù)列.
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【題目】如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值,則( )
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形
C.△A1B1C1是鈍角三角形,△A2B2C2是銳角三角形
D.△A1B1C1是銳角三角形,△A2B2C2是鈍角三角形
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【題目】已知直線()與軸交于點(diǎn),動(dòng)圓與直線相切,并且與圓相外切,
(1)求動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程;
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【題目】如果一個(gè)幾何體的主視圖與左視圖是全等的長(zhǎng)方形,邊長(zhǎng)分別是,如圖所示,俯視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形.
(1)求該幾何體的表面積;
(2)求該幾何體的外接球的體積.
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【題目】在等差數(shù)列中,,前項(xiàng)和滿足條件,
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式和;
(2)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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【題目】已知過拋物線的焦點(diǎn),斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn),且.
(1)求該拋物線的方程;
(2)已知拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條弦和,且,判斷直線是否過定點(diǎn)?并說明理由.
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【題目】如圖,已知正四棱錐P﹣ABCD中,PA=AB=2,點(diǎn)M,N分別在PA,BD上,且 = .
(1)求異面直線MN與PC所成角的大;
(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為, 也是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)為與在第一象限的交點(diǎn),且.
(1)求的方程;
(2)平面上的點(diǎn)滿足,直線,且與交于兩點(diǎn),若,求直線的方程.
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【題目】設(shè)函數(shù), ,其中是實(shí)數(shù).
(1)解關(guān)于的不等式.
(2)若,求關(guān)于的方程實(shí)根的個(gè)數(shù).
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