Question

（本小題滿分分）已知函數(shù)（，是不同時(shí)為零的常數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：函數(shù)在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）時(shí)易證結(jié)論；時(shí)，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可以證明結(jié)論成立.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，

由不等式即對(duì)任意恒成立，

得，解得.                                     ……5分

（2）證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100923394315079326/SYS201310092340133939361938_DA.files/image010.png">，不同時(shí)為零，所以，

所以的零點(diǎn)為，                               ……6分

當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，    ……7分

①若即時(shí)，

，

∴函數(shù)在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)．                            ……10分

②若即時(shí)，

，

∴函數(shù)在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)．                       ……13分

綜上得：函數(shù)在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)．                    ……14分

考點(diǎn)：本小題主要考查二次函數(shù)恒成立問(wèn)題和函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力以及分類討論思想的應(yīng)用.

點(diǎn)評(píng)：恒成立問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題解決，而函數(shù)的零點(diǎn)存在定理能確定一定存在零點(diǎn)，但是確定不了存在幾個(gè)零點(diǎn).