Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）．
（1）若函數(shù)滿足f（1）=2，且在定義域內(nèi)f（x）≥bx²+2x恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域上是單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當時，試比較與的大小．

Answer 1

解：（1）由f（1）=2，得a=1，又x＞0，
∴x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立?1--≥b，…（1分）
令g（x）=1--，可得g（x）在（0，1]上遞減，
在[1，∞）上遞增，所以g（x）_min=g（1）=0，
即b≤0…（3分）
（2）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），
令f′（x）≥0得：2a≥，設h（x）=，當x=e時，h（x）_max=，
∴當a≥時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調遞增…（5分）
若0＜a＜，g（x）=2ax-lnx，（x＞0），g′（x）=2a-，
g′（x）=0，x=，x∈（0，），g′（x）＜0，x∈（，+∞），g′（x）＞0，
∴x=時取得極小值，即最小值．
而當0＜a＜時，g（）=1-ln＜0，
f′（x）=0必有根，f（x）必有極值，在定義域上不單調…（8分）
∴a≥…（9分）
（3）由（I）知g（x）=1-在（0，1）上單調遞減，
∴＜x＜y＜1時，g（x）＞g（y）即＜…（10分）
而＜x＜y＜1時，-1＜lnx＜0，
∴1+lnx＞0，
∴＜…（12分）
分析：（1）依題意，1--≥b，構造函數(shù)g（x）=1--，利用導數(shù)可求得g（x）_min，從而可求得實數(shù)b的取值范圍；
（2）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），令f′（x）≥0可求得a的范圍，對a的范圍分情況討論可由f（x）在定義域上是單調函數(shù)，求得實數(shù)a的取值范圍；
（3）由（I）知g（x）=1-在（0，1）上單調遞減，從而可得，＜x＜y＜1時，＜，進一步分析即可得到＜．
點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，突出分類討論思想在分析解決問題中的應用，屬于難題．