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已知：關于x的方程2x2-（
3
+1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：
（1）
tanθsinθ
tanθ-1
+
cosθ
1-tanθ
的值；
（2）m的值；
（3）方程的兩根及此時θ的值．
（1）由于關于x的方程2x2-（
3
+1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，故有
sinθ+cosθ=
3
+1
2
sinθcosθ=
m
2
，
∴
tanθsinθ
tanθ-1
+
cosθ
1-tanθ
=
sin2θ
sinθ-cosθ
+
cos2θ
cosθ-sinθ
=
(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)
sinθ-cosθ
=sinθ+cosθ=
3
+1
2
．

（2）由sinθ+cosθ=
3
+1
2
、sinθcosθ=
m
2
，∴sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=(
3
+1
2
)2，即 1+m=(
3
+1
2
)2，解得 m=
3
2
．
（3）由以上可得，sinθ+cosθ=
3
+1
2
、sinθcosθ=
3
4
，解得 sinθ=
1
2
，cosθ=
3
2
； 或者 sinθ=
3
2
，cosθ=
1
2
．
故此時方程的兩個根分別為
1
2
、
3
2
，對應θ的值為
π
6
 或
π
3
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知：關于x的方程2x2+kx-1=0
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的一個根是-1，求另一個根及k值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知：關于x的方程2x2-（
3
+1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：
（1）
tanθsinθ
tanθ-1
+
cosθ
1-tanθ
的值；
（2）m的值；
（3）方程的兩根及此時θ的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知在關于x的方程ax2-
2
bx+c=0中，a、b、c分別是鈍角三角形ABC的三內角A、B、C所對的邊，且b是最大邊．
（1）求證：該方程有兩個不相等的正根；
（2）設方程有兩個不相等的正根α、β，若三角形ABC是等腰三角形，求α-β的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知：關于x的方程2x2+kx-1=0
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的一個根是-1，求另一個根及k值．

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科目：高中數學 來源：《第1章 三角函數》2013年單元測試卷（3）（解析版） 題型：解答題

已知：關于x的方程2x2-（+1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：
（1）+的值；
（2）m的值；
（3）方程的兩根及此時θ的值．

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