Question

4．某單位舉辦抽獎(jiǎng)活動(dòng)，已知抽獎(jiǎng)盒中裝有“天府卡”和“熊貓卡”共10張．其中．天府卡”比“熊貓卡”數(shù)量多．抽獎(jiǎng)規(guī)則是：參與者隨機(jī)從盒中同時(shí)抽取兩張卡片就完成一次抽獎(jiǎng)，抽后放回．若抽到兩張“熊貓卡，即可獲獎(jiǎng)，否則不獲獎(jiǎng)．已知一次抽獎(jiǎng)中，抽到“天府卡”和“熊貓卡”各一張的概率是$\frac{7}{15}$．
（Ⅰ）求某人抽獎(jiǎng)一次就中獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）現(xiàn)有3個(gè)人各抽獎(jiǎng)一次，用X表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 根據(jù)得出天府卡”有7張，
（I）P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$運(yùn)用排列組合知識(shí)求解．
（II）根據(jù)題意X～B（3，$\frac{1}{15}$）X的分布列為P（X=i）=${c}_{3}^{i}$（$\frac{1}{15}$）ⁱ（$\frac{14}{15}$）^3-i，i=0，1，2，3，求解得出分布列，數(shù)學(xué)期望．

解答 解：設(shè)10張卡片中，“天府卡”有n張，則“熊貓卡”有10-n張，n＞10-n，
即n＞5，n∈N
由已知得出$\frac{{{C}_{n}^{1}c}_{10-n}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{15}$，
解得n=7
（I）記“某人參與一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲獎(jiǎng)”為事件A，
∴P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
∴某人參與一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲獎(jiǎng)的概率為$\frac{1}{15}$
（II）根據(jù)題意X～B（3，$\frac{1}{15}$）
∴X的分布列為P（X=i）=${c}_{3}^{i}$（$\frac{1}{15}$）ⁱ（$\frac{14}{15}$）^3-i，i=0，1，2，3
或

X	0	1	2	3
P	$\frac{2744}{3375}$	$\frac{196}{1125}$	$\frac{14}{1125}$	$\frac{1}{3375}$

數(shù)學(xué)期望E（X）=np=3×$\frac{1}{15}$=$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，解決離散型隨機(jī)變量分布列問題時(shí)，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，同時(shí)還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運(yùn)算要簡單的多．