Question

某次國(guó)際象棋友誼賽在中國(guó)隊(duì)和烏克蘭隊(duì)之間舉行，比賽采用積分制，比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，根據(jù)以往戰(zhàn)況，每局中國(guó)隊(duì)贏的概率為

1

2

，烏克蘭隊(duì)贏的概率為

1

3

，且每局比賽輸贏互不影響．若中國(guó)隊(duì)第n局的得分記為a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）求S₃=4的概率；
（2）若規(guī)定：當(dāng)其中一方的積分達(dá)到或超過4分時(shí)，比賽不再繼續(xù)，否則，繼續(xù)進(jìn)行．設(shè)隨機(jī)變量ξ表示此次比賽共進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）S₃=4，即前3局中國(guó)隊(duì)1勝2平或2勝1負(fù)，而每局中中國(guó)隊(duì)贏的概率為

1

2

，平的概率為

1

6

，輸?shù)母怕蕿?span id="yr19hya" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

3

，且每局比賽輸贏互不影響，故可利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求解．
（2）ξ的可能取值為2，3，4，ξ=2表示兩局都是中國(guó)隊(duì)贏或都是烏克蘭隊(duì)贏；ξ=3可分中國(guó)隊(duì)贏時(shí)，中國(guó)隊(duì)三局中的得分情況分別為022，202，112，121，122，211，和212，烏克蘭隊(duì)贏時(shí)，烏克蘭隊(duì)得分情況同上邊的情況，分別求概率取和；ξ=4時(shí)，可利用分布列的性質(zhì)求解，P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）

解答：解：（1）S₃=4，即前3局中國(guó)隊(duì)1勝2平或2勝1負(fù)．
中國(guó)隊(duì)贏的概率為

1

2

，平的概率為

1

6

，輸?shù)母怕蕿?span id="kdctr9d" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

3

．
得S₃=4的概率為

C

2 3

(

1

6

)2(

1

2

)+

C

2 3

×(

1

2

)2×

1

3

=

1

24

+

1

4

=

7

24

（2）ξ的可能取值為2，3，4，
P(ξ=2)=(

1

2

)2+(

1

3

)2=

13

36

，
P(ξ=3)=

C

1 2

(

1

2

)(

1

3

)(

1

2

)+

C

1 2

(

1

2

)(

1

6

)(

1

2

)+

C

1 3

(

1

6

)2

1

2

+

C

1 2

(

1

3

)(

1

2

)(

1

3

)+

C

1 2

(

1

3

)(

1

6

)(

1

3

)+

C

1 3

(

1

6

)2

1

3

=

101

216

P(ξ=4)=(

1

6

)4+(

1

6

)3(

1

2

)+(

1

6

)3(

1

3

)+

A

3 3

(

1

6

)(

1

2

)(

1

3

)(

1

6

)+

A

3 3

(

1

6

)(

1

2

)(

1

3

)(

1

2

)+

A

3 3

(

1

6

)(

1

3

)(

1

2

)(

1

3

)=

37

216

或P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=

37

216

ξ的分布列為：

∴E(ξ)=2×

13

36

+3×

101

216

+4×

37

216

=

607

216

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、分布列的性質(zhì)、期望、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率等知識(shí)，以及利用概率知識(shí)分析問題、解決問題的能力．