Question

已知橢圓方程為，左、右焦點分別是，若橢圓上的點到的距離和等于．

（Ⅰ）寫出橢圓的方程和焦點坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)點是橢圓的動點，求線段中點的軌跡方程；

（Ⅲ）直線過定點，且與橢圓交于不同的兩點，若為銳角（為坐標(biāo)原點），求直線的斜率的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓的方程，焦點

（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意得：，

又點橢圓上，∴

∴　橢圓的方程，焦點．　                     ……5分

（Ⅱ）設(shè)橢圓上的動點，線段中點，

由題意得：，

代入橢圓的方程得，，

即為線段中點的軌跡方程．　　　                       ……9分

（Ⅲ）由題意得直線的斜率存在且不為，

設(shè)代入整理，

得　，

　　�、�

設(shè)，∴　

∵為銳角，即，

又　．

∴　

，　∴　．　②

由①、②得　，∴的取值范圍是．　              ……14分

考點：本小題注意考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系等.

點評：圓錐曲線的綜合問題一般離不開直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，運算量較大，注意到聯(lián)立得到直線方程后，不要忘記驗證.