證明函數(shù)f（x）=
3x+1
在[3，5]上單調(diào)遞減，并求函數(shù)在[3，5]的最大值和最小值．
分析：利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）=
3
x+1
在[3，5]上單調(diào)遞減，并利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)在[3，5]的最大值和最小值．
解答：解：證明：設(shè)3≤x1＜x2≤5，∵f（x1）-f（x2）=
3
x1+1
-
3
x2+1
=
3(x2+1)-3(x1+1)
(x1+1)(x2+1)
=
3(x2-x1)
(x1+1)(x2+1)
，
x2-x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，
∴
3(x2-x1)
(x1+1)(x2+1)
＞0，即  f（x1）＞f（x2），故函數(shù)函數(shù)f（x）=
3
x+1
在[3，5]上單調(diào)遞減．
故當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取得最大值為
3
4
，當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)取得最小值為
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
xx2+1
．
（1） 判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性
（2）判斷并證明當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）在（2）成立的條件下，解不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
-2x+b2x+1+a
是奇函數(shù)，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)于任意的t∈R，不等式f（mt2-2t）+f（1-t2）＜0恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
kx-1x-1
，若f（2）=3
（1）求k的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f(1)=
52
，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，總有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（I）求f（0）的值，并證明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（II）定義數(shù)列{an}：an=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求{an}的通項(xiàng)公式；
（III）若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)y，總有f（y）＞2．證明：對(duì)于任意m，n∈N*，若m＞n，則f（m•y）＞f（n•y）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)g(x)=
4x+m2
2x
(m為非零常數(shù))的圖象向右平移兩個(gè)單位而得到．
（1）寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；
（3）問：是否存在集合M，當(dāng)x∈M時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為2+m2，最小值為2-
m2
9
；若存在，試求出一個(gè)集合M；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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