Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的兩倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x）的圖象．當x∈$[{\frac{π}{2}，π}]$時，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，從而可求最小周期和最小值；
（Ⅱ）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由x∈[$\frac{π}{2}$，π]時，可得x-$\frac{π}{3}$的范圍，即可求得g（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）的最小周期T=$\frac{2π}{2}$=π，最小值為：-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）由條件可知：g（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
當x∈[$\frac{π}{2}$，π]時，有x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，從而sin（x-$\frac{π}{3}$）的值域為[$\frac{1}{2}$，1]，那么sin（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的值域為：[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$]，
故g（x）在區(qū)間[$\frac{π}{2}$，π]上的值域是[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$]．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基本知識的考查．