Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

a

x

（x≠0，a∈R）
  （1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．
�。�2）若f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇偶性的定義分a=0與a≠0兩種情況判斷即可；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，分析a滿足的條件，再求解即可．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=x²，函數(shù)是偶函數(shù)；
當a≠0時，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（2）設(shè)x₂＞x₁≥2，f（x₁）-f（x₂）=x12+

a

x1

-x22-

a

x2

=

x1-x2

x1x2

[x₁x₂（x₁+x₂）-a]，
∵x₂＞x₁≥2，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，x₁+x₂＞4，
∴x₁x₂（x₁+x₂）＞16，
∵若f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，即f（x₁）-f（x₂）＜0，∴x₁x₂（x₁+x₂）-a＞0恒成立，
∴a＜x₁x₂（x₁+x₂）恒成立，
又∵x₁x₂（x₁+x₂）＞16，
∴a≤16
故實數(shù)a的取值范圍是a≤16．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的判斷與證明．