Question

某工廠有25周歲以上（含2S周歲）工人300名，25周歲以下工人200名為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求樣本中“25周歲以上（含25周歲）組”抽取的人數(shù)、日生產(chǎn)量平均數(shù)：
（2）若“25周歲以上組”中日平均生產(chǎn)90件及90件以上的稱為“生產(chǎn)能手”；“25周歲以下組”中日平均生產(chǎn)不足60件的稱為“菜鳥”．從樣本中的“生產(chǎn)能手”和”菜鳥”中任意抽取2人，求這2人日平均生產(chǎn)件數(shù)之和X的分布列及期望．（“生產(chǎn)能手”日平均生產(chǎn)件數(shù)視為95件，“菜鳥”日平均生產(chǎn)件數(shù)視為55件）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由樣本單元數(shù)和總體中“25周歲以上（含25周歲）組”的頻率，能求出“25周歲以上（含25周歲）組”抽取的人數(shù)；利用“255周歲以上組”頻率分布直方圖能求出“25周歲以上（含25周歲）組”日生產(chǎn)量平均數(shù)．
（2）利用頻率分布直方圖能求出樣本中“25周歲以上組”中日平均生產(chǎn)90件及90件以的“生產(chǎn)能手”工人有3人，“25周歲以下組”中日平均生產(chǎn)不足60件的“菜鳥”工人有2人，從這5人組成的樣本中，任取2人，這兩人的日平均生產(chǎn)件數(shù)之和X的可能取值為190，150，110，分別求出P（X=190），P（X=150），P（X=110），由此能求出X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由已知得，樣本中有25周歲以上組工人100×

300

500

=60名，
樣本中“25周歲以上（含25周歲）組”的日生產(chǎn)量平均數(shù)為：
55×0.05+65×0.35+75×0.35+85×0.2+95×0.05=73.5．
（2）由題設(shè)知，樣本中“25周歲以上組”中日平均生產(chǎn)90件及90件以的“生產(chǎn)能手”工人有60×0.05=3人，
“25周歲以下組”中日平均生產(chǎn)不足60件的“菜鳥”工人有40×0.05=2人，
則從日平均生產(chǎn)95件的3名“生產(chǎn)能手”和日平均生產(chǎn)55件的2名“菜鳥”這5人組成的樣本中，
任取2人，這兩人的日平均生產(chǎn)件數(shù)之和X的可能取值為190，150，110，
P（X=190）=

C 2 3

C 2 5

=

3

10

，
P（X=150）=

C 1 3 C 1 2

C 2 5

=

3

5

，
P（X=110）=

C 2 2

C 2 5

=

1

10

，
∴X的概率分布列為：

X	190	150	110
P	3 10	3 5	1 10

X的期望EX=190×

3

10

+150×

3

5

+110×

1

10

=158．

點評：本題考查離散型隨機變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，解題時要注意排列組合知識的合理運用．