Question

9．若存在直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C₁和曲線(xiàn)C₂都相切，則稱(chēng)曲線(xiàn)C₁和曲線(xiàn)C₂為“相關(guān)曲線(xiàn)”，有下列三個(gè)命題：①有且只有兩條直線(xiàn)l使得曲線(xiàn)C₁：x²+y²=4和曲線(xiàn)C₂：x²+y²-4x+2y+4=0為“相關(guān)曲線(xiàn)”；②曲線(xiàn)C₁：4y²-x²=1和曲線(xiàn)C₂：x²-4y²=1是“相關(guān)曲線(xiàn)”；③曲線(xiàn)C₁：y=lnx和曲線(xiàn)C₂：y=x²-x為“相關(guān)曲線(xiàn)”．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①兩條曲線(xiàn)都是圓，只需研究?jī)蓤A的位置關(guān)系即可；
②容易判斷，兩條曲線(xiàn)是共軛雙曲線(xiàn)（在x軸上方的部分），易知沒(méi)有公切線(xiàn)；
③先利用導(dǎo)數(shù)求出C₁的切線(xiàn)，然后代入曲線(xiàn)C₂，利用判別式等于零求解．

解答 解：①易知；C₁：是以（0，0）為圓心，r=2的圓；C₂：是以（2，-1）為圓心，r=1的圓，圓心距=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，大于半徑之差1，小于半徑之和3，故兩圓相交，因此有兩條外公切線(xiàn)，故①正確；
②易知，曲線(xiàn)C₁，C₂是共軛雙曲線(xiàn)，因此兩曲線(xiàn)沒(méi)有公切線(xiàn)，故②錯(cuò)誤；
③C₁：y=lnx，求得x=1時(shí)，切線(xiàn)方程為y=x-1；對(duì)于C₂：當(dāng)x=1時(shí)，切線(xiàn)方程2為y=x-1，故正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、切線(xiàn)方程的求法，同時(shí)，作為新定義問(wèn)題，要注意對(duì)“概念”的理解．