函數(shù)y=f(x)定義在R上,且滿足:①f(x)是偶函數(shù);②f(x-1)是奇函數(shù),且當0<x≤1時,f(x)=log3x,則方程f(x)+4=f(1)在區(qū)間(-2,10)內(nèi)的所有實根之和為


  1. A.
    22
  2. B.
    24
  3. C.
    26
  4. D.
    28
B
分析:由f(x)是偶函數(shù)說明函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,再由f(x-1)是奇函數(shù)說明函數(shù)圖象關(guān)于點(-1,0)對稱,因此可以證明出函數(shù)的周期為4.只要找出方程f(x)+4=f(1)在在區(qū)間(-2,2)內(nèi)實根的情況,就不難找到f(x)+4=f(1)在區(qū)間(-2,10)內(nèi)的所有實根之和了.
解答:根據(jù)題意,f(1)=log31=0,
因此方程f(x)+4=f(1)化簡為f(x)=-4
當0<x≤1時,f(x)=log3x=-4,可得
因為f(x)是偶函數(shù),所以當-1≤x<0時,f(x)=log3-(-x)=-4,
可得
∵f(x-1)是奇函數(shù),圖象關(guān)于點(-1,0)對稱
∴當-2<x≤-1時的函值域與當-1≤x<0時函數(shù)值域互為相反數(shù),f(x)≥0,方程f(x)=-4沒有實根
再根據(jù)f(x)是偶函數(shù),圖象關(guān)于點y軸對稱得,當-2<x≤-1時的函值域與當1≤x<2時函數(shù)值域相同,
f(x)≥0,方程f(x)=-4沒有實根
因此函數(shù)在(-2,2)只有兩個實數(shù)根
又∵f(2-x)=f(x-2)=f(-1+(x-1))=-f(-1-(x-1))=-f(-x)
∴f(2+x)=-f(x)?f(4+x)=-f(2+x)=f(x)
函數(shù)的周期為4
因此可得在(2,6)只有兩個實數(shù)根,在(6,10)只有兩個實數(shù)根
因此可得六個實數(shù)根的和為=24
故選B
點評:本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用以及函數(shù)圖象的對稱性與奇偶性等知識點,屬于難題.充分利用函數(shù)的奇偶性與周期性,熟練對數(shù)的運算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.
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設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在R上,對于任意實數(shù)m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且當x>0時,0<f(x)<1
(1)求證:f(0)=1且當x<0時,f(x)>1
(2)求證:f(x)在R上是減函數(shù);
(3)設(shè)集合A=(x,y)|f(-x2+6x-1)•f(y)=1,B=(x,y)|y=a,
且A∩B=∅,求實數(shù)a的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在R上,對于任意實數(shù)m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n)且當x>0時,0<f(x)<1
(1)求證:f(0)=1 且當x<0時,f(x)>1
(2)求證:f(x)在R上是減函數(shù).

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奇函數(shù)y=f(x)定義在[-1,1]上,且是減函數(shù),若f(1-a)+f(1-2a)>0,則實數(shù)a的取值范圍是
2
3
<a≤1
2
3
<a≤1

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