已知函數(shù)f(x)(x∈R且x＞0)，對于定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x＞1時(shí)，f(x)＞0恒成立。 （1）求f(1)；
（2）證明方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根；
（3）若x∈[1，+∞)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解：（1）令x=y=1，∴f(1)=2f(1)，∴f(1)=0；
（2）任取，則，由題意，，
又定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，所以f(xy)-f(y)=f(x)，
∴，∴，
∴函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，由（1）和f(1)=0，所以，1為方程f(x)=0的一個(gè)實(shí)根；
若還存在一個(gè)x0，且x0＞0，使得，
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，必有，故方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根；
（3）由（2）知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，
當(dāng)x∈[1，+∞)時(shí)，不等式恒成立，
即恒成立，
即，即在x∈[1，+∞)時(shí)恒成立，
∵，
∴a＞-2。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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