精英家教網(wǎng)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,短軸長(zhǎng)為2,且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn).過(guò)右焦點(diǎn)F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)直線l的斜率為1時(shí),求△POQ的面積;
(3)在線段OF上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
.由兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為正方形的頂點(diǎn),且短軸長(zhǎng)為2,由此能夠求出a,b,c的值,從而得到所求橢圓方程.
(2)右焦點(diǎn)F(1,0),直線l的方程為y=x-1.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由題設(shè)條件得y1=-1,y2=
1
3
.由此入手可求出S△POQ=
1
2
|OF|•|y1-y2|=
1
2
|y1-y2|=
2
3

(3)假設(shè)在線段OF上存在點(diǎn)M(m,0)(0<m<1),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形.因?yàn)橹本與x軸不垂直,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0).由題意知(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.由此可知0<m<
1
2
解答:解:(1)由已知,橢圓方程可設(shè)為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
.(1分)
∵兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為正方形的頂點(diǎn),且短軸長(zhǎng)為2,
b=c=1 , a=
2

所求橢圓方程為
x2
2
+y2=1
.(4分)
(2)右焦點(diǎn)F(1,0),直線l的方程為y=x-1.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
x2+2y2=2
y=x-1
得3y2+2y-1=0,解得y1=-1,y2=
1
3

S△POQ=
1
2
|OF|•|y1-y2|=
1
2
|y1-y2|=
2
3
.(9分)
(3)假設(shè)在線段OF上存在點(diǎn)M(m,0)(0<m<1),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形.因?yàn)橹本與x軸不垂直,所以設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0).
x2+2y2=2
y=k(x-1)
可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
x1+x2=
4k2
1+2k2
,x1x2=
2k2-2
1+2k2
MP
=(x1-m, y1),
MQ
=(x2-m, y2),
PQ
=(x2-x1, y2-y1)
.其中x2-x1≠0
以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?(
MP
+
MQ
)⊥
PQ
?(
MP
+
MQ
)•
PQ
=0
?(x1+x2-2m,y1+y2)(x2-x1,y2-y1)=0?(x1+x2-2m)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0?(x1+x2-2m)+k(y1+y2)=0?(
4k2
1+2k2
-2m)+k2(
4k2
1+2k2
-2)=0
?2k2-(2+4k2)m=0?m=
k2
1+2k2
(k≠0)

0<m<
1
2
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐曲線的位置關(guān)系,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,
2
5
5
)
,N(-2,
5
5
)
,若圓C的圓心與橢圓的右焦點(diǎn)重合,圓的半徑恰好等于橢圓的短半軸長(zhǎng),已知點(diǎn)A(x,y)為圓C上的一點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求
AC
AO
+2|
AC
-
AO
|
(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓上點(diǎn)P(3
2
,4)
到兩焦點(diǎn)的距離之和是12,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,焦距為6
3
,且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓的方程為
x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
2
2
,坐標(biāo)原點(diǎn)O到過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線的距離為
2
2

(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn),在線段OF上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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