Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}滿足a₃=5，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，數(shù)列{b_n}滿足bn=2n•

Sn

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得a22=a1a3，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求d，進而可求通項
（2）由（1）可得，Sn=

1+2n-1

2

×n=n²，代人可得bn=2n•

Sn

=n•2ⁿ，利用錯位項減可求和

解答：解：（1）∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，a₃=5
∴a22=a1a3
∴（5-d）²=（5-2d）（5+2d）
∵d≠0
∴d=2
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1
（2）由（1）可得，Sn=

1+2n-1

2

×n=n²
∴bn=2n•

Sn

=n•2ⁿ
∴Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
∴Tn=(n-2)•2n+1+2

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式的簡單應用，數(shù)列的錯位相減求和方法的應用是求解本題的關(guān)鍵