Question

【題目】已知橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過左焦點(diǎn)F1(-2,0)作x軸的垂線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),PF2與y軸交于E,A,B是橢圓上位于PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).

(1)求橢圓的離心率e和標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí),直線AB的斜率kAB是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1)代入F1的橫坐標(biāo)即可表示出P點(diǎn)坐標(biāo)為；利用E點(diǎn)坐標(biāo)以及OE為的中位線得到a與b的關(guān)系；再結(jié)合橢圓中a、b、c的關(guān)系即可解得a、b，進(jìn)而求得橢圓的離心率與標(biāo)準(zhǔn)方程。

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，由(1)可求得P點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)出直線AP的方程，則直線BP的方程也可以表示出來了。聯(lián)立橢圓方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理與斜率的表達(dá)式即可求得斜率的定值。

(1)把x=-2代入橢圓方程得=1,解得y=±.取P,

由題可得OE為的中位線，

由可得，

即b2=3a,又a2=b2+4,聯(lián)立解得a=4,b2=12,

∴e=,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

(2)當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí),直線AB的斜率kAB為定值-.

證明：由(1)得P(-2,3),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).

不妨設(shè)直線PA的方程為y=k(x+2)+3,則直線PB的方程為y=-k(x+2)+3.

聯(lián)立整理得(3+4k2)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k-12=0,∴-2x1=,

解得x1=,y1=.

同理得x2=,y2=,

∴kAB==-,為定值.