Question

已知{a_n}是遞增的等差數(shù)列，它的前三項的和為-3，前三項的積為8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質

專題：計算題

分析：（1）依題意，解方程組

a1+(a1+d)+(a1+2d)=-3 a1•(a1+d)•(a1+2d)=8

即可求得數(shù)列{a_n}的首項與公差，再利用{a_n}是遞增的等差數(shù)列進行取舍，即可求得答案；
（2）由（1）得當n≥3時，a_n＞0，|a_n|=a_n，通過對n=1與n=2及n≥3的情況的討論即可求得S_n．

解答： 解：（1）設{a_n}的公差為d（d＞0），依題意，

a1+(a1+d)+(a1+2d)=-3 a1•(a1+d)•(a1+2d)=8

…（2分），
即

a1+d=-1 a1•(a1+2d)=-8

，解得

a1=-4 d=3

或

a1=2 d=-3

…（4分），
因為d＞0，所以

a1=-4 d=3

，{a_n}的通項a_n=-7+3n…（5分）
（2）由（1）得a₁=-4，|a₁|=4；a₂=-1，|a₂|=1…（6分）；
當n≥3時，a_n＞0，|a_n|=a_n…（7分），
所以S₁=4，S₂=5…（8分）
當n≥3時，S_n=S₂+（a₃+…a_n）=5+[2+…+（-7+3n）]…（9分）
=5+

2+(-7+3n)

2

×（n-2）
=

3

2

n²-

11

2

n+10…（11分），
綜上所述，S_n=

4，n=1 5，n=2 3 2 n2- 11 2 n+10，n≥3

…（12分）．

點評：本題考查含有絕對值的數(shù)列的求和，通過對n的取值情況的分類討論，去掉數(shù)列{|a_n|}的前n項和式S_n中的絕對值符號是關鍵，也是難點，屬于中檔題．