Question

11．正三棱臺的高為3，上、下底面邊長分別為2和4，求這個棱臺的側棱長和斜高．

Answer 1

分析 畫出圖形，分別求出三棱臺上下底面的中心到頂點和到對邊的距離，再利用勾股定理求出棱臺的側棱長與斜高．

解答 解：如圖所示，
正三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，高OO₁=3，底面邊長為A₁B₁=2，AB=4，
∴OA=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
O₁A₁=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$A₁B₁=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∴棱臺的側棱長為
AA₁=$\sqrt{{3}^{2}{+（\frac{4}{3}\sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{93}}{3}$；
又OE=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
O₁E₁=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{3}$$\sqrt{3}$，
∴該棱臺的斜高為
EE₁=$\sqrt{{3}^{2}{+（\frac{2}{3}\sqrt{3}-\frac{1}{3}\sqrt{3}）}^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{21}$．

點評 本題考查了求正三棱臺的側棱長與斜高的應用問題，也考查了計算能力的應用問題，是基礎題目．