Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知條件可得ACBD，PABD，根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理可證
（II）結(jié)合已知條件，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則OB⊥OC，故考慮分別以O(shè)B，OC，為x軸，以過(guò)O且垂直于平面ABCD的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PB與AC所成的角為θ，則，代入公式可求
（III）分別求平面PBC的法向量，平面PDC的法向量                          
由平面PBC⊥平面PDC可得從而可求t即PA
解答：解：（I）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）設(shè)AC∩BD=O，因?yàn)椤螧AD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，為x軸，以過(guò)O且垂直于平面ABCD的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則
P（0，-，2），A（0，-，0），B（1，0，0），C（0，，0）

所以，
設(shè)PB與AC所成的角為θ，則cosθ=|
（III）由（II）知，設(shè)，
則
設(shè)平面PBC的法向量=（x，y，z）
則=0，
所以令，
平面PBC的法向量所以，
同理平面PDC的法向量，因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面PDC，
所以=0，即-6+=0，解得t=，
所以PA=．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線(xiàn)面關(guān)系的垂直關(guān)系的判斷、異面直線(xiàn)所成的角、用空間向量的方法求解直線(xiàn)的夾角、距離等問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力