Question

已知偶函數f（x）=cosθsinx-sin（x-θ）+（tanθ-2）sinx-sinθ的最小值是0，求f（x）的最大值及此時x的集合．

Answer 1

【答案】分析：把f（x）利用兩角差的正弦函數公式化簡后根據函數是偶函數即f（-x）=f（x）得到tanθ=2，則f（x）=sinθ（cosx-1），然后根據同角三角函數間的基本關系求出sinθ和cosθ，把sinθ的兩個值代入到f（x）中，根據f（x）的最小值為0舍去一個，得到f（x）的解析式為f（x）=（cosx-1），f（x）取最大值時cosx取-1，根據余弦函數的圖象即可得到x取值范圍．
解答：解：f（x）=cosθsinx-（sinxcosθ-cosxsinθ）+（tanθ-2）sinx-sinθ
=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ
因為f（x）是偶函數，所以對任意x∈R，都有f（-x）=f（x），
即sinθcos（-x）+（tanθ-2）sin（-x）-sinθ=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ，
即（tanθ-2）sinx=0，所以tanθ=2
由解得或，此時，f（x）=sinθ（cosx-1）．
當sinθ=時，f（x）=（cosx-1）最大值為0，不合題意最小值為0，舍去；
當sinθ=時，f（x）=（cosx-1）最小值為0，
當cosx=-1時，f（x）有最大值為，自變量x的集合為{x|x=2kπ+π，k∈Z}．
點評：考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系化簡求值以及掌握函數是偶函數時滿足的條件，會根據余弦函數的圖象求出函數的最值及會求取最值時角度的范圍．