Question

已知圓的方程為x²+y²=1，把圓上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到一橢圓，則以該橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)、頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為（　　）

• A．

  x2

  3

  -y2=1
• B．

  y2

  3

  -x2=

  1

  4

• C．

  x2

  3

  -y2=

  1

  4

• D．

  y2

  3

  -x2=1

Answer 1

分析：把圓上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到一橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

1

=1，再求出橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，從而得到雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，進(jìn)而得到雙曲線方程．

解答：解：把圓上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到一橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

1

=1，
橢圓

x2

4

+

y2

1

=1的頂點(diǎn)為（-2，0）和（2，0），焦點(diǎn)為（-

3

，0）和（

3

，0）．
∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，0）和（2，0），頂點(diǎn)為（-

3

，0）和（

3

，0）．
∴雙曲線的a=

3

，c=2⇒b=1
∴雙曲線方程為

x2

3

-y2=1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查變換法求解曲線的方程，考查雙曲線和橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意區(qū)分雙曲線和橢圓的基本性質(zhì)．