Question

某學生在觀察正整數(shù)的前n項平方和公式即1²+2²+3²+…+n²=，n∈N^*時發(fā)現(xiàn)它的和為關于n的三次函數(shù)，于是他猜想：是否存在常數(shù)a，b，1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=．對于一切n∈N^*都立？
（1）若n=1，2 時猜想成立，求實數(shù)a，b的值．
（2）若該同學的猜想成立，請你用數(shù)學歸納法證明．若不成立，說明理由．

Answer 1

證明：（1）若n=1，2 時猜想成立，
假設存在符合題意的常數(shù)a，b，
在等式1•2²+2•3²++n（n+1）²
=中，
令n=1，得4=（a+b）①
令n=2，得22=2（2a+b）②
由①②解得a=3，b=5，
（2）于是，對于對于一切正整數(shù)n猜想都有
1•2²+2•3²++n（n+1）²=（3n²+11n+10）（*）成立．
下面用數(shù)學歸納法證明：對于一切正整數(shù)n，（*）式都成立．
（1）當n=1時，由上述知，（*）成立．
（2）假設n=k（k≥1）時，（*）成立，
即1•2²+2•3²++k（k+1）²
=（3k²+11k+10），
那么當n=k+1時，
1•2²+2•3²++k（k+1）²+（k+1）（k+2）²
=（3k²+11k+10）+（k+1）（k+2）²
=（3k²+5k+12k+24）
=[3（k+1）²+11（k+1）+10]，
由此可知，當n=k+1時，（*）式也成立．
綜上所述，當a=3，b=5時題設的等式對于一切正整數(shù)n都成立．
分析：（1）先假設存在符合題意的常數(shù)a，b，由n=1，n=2構造個方程求出a，b即可，
（2）再用用數(shù)學歸納法證明其是否成立，證明時先證：（1）當n=1時成立．（2）再假設n=k（k≥1）時，成立，即1•2²+2•3²++k（k+1）²=（3k²+11k+10），再遞推到n=k+1時，成立即可．
點評：本小題主要考查數(shù)學歸納法、數(shù)列的求和、存在性問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．