Question

10．計算：$\lim_{n→∞}\frac{{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+…+\frac{1}{3^n}}}{{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2^n}}}$=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列求和公式先分別求出分子、分母的前n+1項和，由此能求出結(jié)果．

解答 解：$\lim_{n→∞}\frac{{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+…+\frac{1}{3^n}}}{{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2^n}}}$
=$\underset{lim}{n→∞}\frac{\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}}{\frac{1-\frac{1}{{2}^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}}$=$\frac{\frac{1}{1-\frac{1}{3}}}{\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列的極限的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．