Question

（2013•石家莊二模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點0為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2acos（θ+

π

4

）（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2

2

時，設(shè)OA為圓C的直徑，求點A的直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程是

x=2t y=4t

（t為參數(shù)），直線l被圓C截得的弦長為d，若d≥

2

，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a值代入圓的極坐標(biāo)方程，化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，求出圓的圓心坐標(biāo)，求出OA所在直線方程，與圓的方程聯(lián)立后可求A的坐標(biāo)；
（Ⅱ）化圓的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，求出圓心坐標(biāo)，化直線的參數(shù)方程為直角坐標(biāo)方程，由圓心到直線的距離求出圓心距，從而得到直線l被圓C截得的弦長d，由d≥

2

，求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）a=2

2

時，由ρ=2acos（θ+

π

4

），
得ρ2=4

2

ρ(cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

)，即x²+y²=4x-4y．
所以圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+（y+2）²=8  ①
∴圓心C（2，-2）．
又點O的直角坐標(biāo)為（0，0），
所以直線OA的直線方程為y=-x②
聯(lián)立①②解得

x=0 y=0

（舍），或

x=4 y=-4

所以點A的直角坐標(biāo)為（4，-4）；
（Ⅱ）由ρ=2acos（θ+

π

4

），得
圓C的直角坐標(biāo)方程為(x-

2

2

a)2+(y+

2

2

a)2=a2，
由

x=2t y=4t

，得直線l的直角坐標(biāo)方程為y=2x．
所以圓心C（

2

2

a，-

2

2

a）到直線l的距離為

|- 2 2 a- 2 a|

5

，
∴d=2

a2- 9a2 10

=

10

5

a．
所以

10

5

a≥

2

，解得a≥

5

．

點評：本題考查了參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查了極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)，考查了直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)的計算題．