Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=

1

2

AA₁，D是棱AA₁的中點．
（Ⅰ）證明：DC₁⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC₁分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比
（Ⅲ）畫出平面BDC₁與平面ABC的交線．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由題設知BC⊥CC₁，BC⊥AC，從而BC⊥平面ACC₁A₁，進而DC₁⊥BC，由此能證明平面BDC₁⊥平面BDC．
（Ⅱ）設棱錐B-DACC₁的體積為V₁，AC=1，
由題意得V1=

1

3

×

1+2

2

×1×1=

1

2

，由此能示出平面BDC₁分此棱柱所得兩部分的體積的比．
（Ⅲ）延長C₁D、CA，交于點E，連結BE，直線BE就是平面BDC₁與平面ABC的交線．

解答： （Ⅰ）證明：由題設知BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
又DC₁?平面ACC₁A₁，∴DC₁⊥BC，
由題設知∠A₁DC₁=∠ADC=45°，
∴∠CDC₁=90°，即DC₁⊥DC，
又DC∩BC=C，∴DC₁⊥平面BDC，又DC₁?平面BDC₁，
故平面BDC₁⊥平面BDC．
（Ⅱ）解：設棱錐B-DACC₁的體積為V₁，AC=1，
由題意得V1=

1

3

×

1+2

2

×1×1=

1

2

，
又三棱錐ABC-A₁B₁C₁的體積V=1，
∴（V-V₁）：V₁=1：1，
∴平面BDC₁分此棱柱所得兩部分的體積的比為1：1．
（Ⅲ）解：延長C₁D、CA，交于點E，連結BE，
直線BE就是平面BDC₁與平面ABC的交線．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查面棱柱得到兩部分體積的比的求法，考查平面與平面的交線的畫法．解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．