Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，.

（1）求橢圓的離心率及標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為動(dòng)點(diǎn)，其中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使恒成立？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1），；（2）在定點(diǎn)

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)得到，根據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn)，由橢圓的定義得到，再求出，從而得到橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，，則，，利用點(diǎn)差法，得到，從而表示出線段的垂直平分線，再根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)，得到關(guān)于的方程組，得到定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）設(shè)橢圓方程：.

∴.

∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

∴，

∴，可得.

橢圓的離心率為，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：.

（2）設(shè)，，

因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，

則，.

∵、在曲線上，∴，

將以上兩式相減得：.

所以得到，

∴線段的垂直平分線方程：，

整理得

令，得

故線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn).

所以存在定點(diǎn)，使恒成立.