Question

（2012•昌平區(qū)一模）已知橢圓C的中心在原點，左焦點為(-

3

，0)，離心率為

3

2

．設直線l與橢圓C有且只有一個公共點P，記點P在第一象限時直線l與x軸、y軸的交點分別為A、B，且向量

OM

=

OA

+

OB

．
求：
（I）橢圓C的方程；
（II）|

OM

|的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的左焦點為(-

3

，0)，離心率為

3

2

，建立方程，求得幾何量，即可確定橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程，代入橢圓方程，利用直線l與曲線C有且只有一個公共點，確定m，k之間的關系，利用

OM

=

OA

+

OB

，可得|

OM

|=

m2 k2 +m2

，再借助于基本不等式，即可求得最小值及直線的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意，∵左焦點為(-

3

，0)，離心率為

3

2

，
∴c=

3

，e=

c

a

=

3

2

，
∴a=2，于是b²=1，由于焦點在x軸上，故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1…（5分）
（Ⅱ）設直線l的方程為：y=kx+m（k＜0），A(-

m

k

，0)，B(0，m)

y=kx+m x2 4 +y2=1

消去y得：(

1

4

+k2)x2+2kmx+m2-1=0…（7分）
∵直線l與曲線C有且只有一個公共點，∴△=4k²m²-（1+4k²）（m²-1）=0
即m²=4k²+1①…（9分）
∵

OM

=

OA

+

OB

∴|

OM

|=

m2 k2 +m2

②…（11分）
將①式代入②得：|

OM

|=

1 k2 +4k2+5

≥

2 1 k2 •4k2 +5

=3
當且僅當k=-

2

2

時，等號成立，故|

OM

|min=3，
此時直線方程為：

2

x+2y-2

3

=0．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查基本不等式，綜合性強．