Question

設(shè)復數(shù)z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i（i為虛數(shù)單位），若對任意實數(shù)θ，|z|≤2，則實數(shù)a的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先利用復數(shù)莫得公式求模，然后利用三角函數(shù)進行化簡，由|z|≤2得到不等式，然后根據(jù)a的符號把該不等式分類轉(zhuǎn)化為不含三角函數(shù)的不等式，求解后對a取并集即可得到答案．
解答：解：由z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i，
所以
=
=
=（tanα=2）．
因為|z|≤2，
所以．
若a=0，此式顯然成立，
若a＞0，由，
得，解得．
若a＜0，由，
得，解得．
所以對任意實數(shù)θ，滿足|z|≤2的實數(shù)a的取值范圍為．
故答案為．
點評：本題考查了復數(shù)模的求法，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．