Question

1．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象過點$P（\frac{π}{12}，\;0）$，且圖象上與P點最近的一個最高點坐標為$（\frac{π}{3}，\;5）$．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）指出函數(shù)的增區(qū)間；
（3）若將此函數(shù)的圖象向左平行移動$\frac{π}{6}$個單位長度后，再向下平行移動2個單位長度得到g（x）的圖象，求g（x）的對稱軸．

Answer 1

分析 （1）由已知可得A，T，利用周期公式可求ω，由$5sin（2×\frac{π}{12}+φ）=0$，得φ，求得解析式；
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，得增區(qū)間$；
（3）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x），利用$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，可解得g（x）的對稱軸．

解答 解：（1）由已知可得$A=5，\;\;\frac{T}{4}=\frac{π}{3}-\frac{π}{12}=\frac{π}{4}\;\;\;∴T=π\(zhòng);\;ω=2$，
∴y=5sin（2x+φ），
由$5sin（2×\frac{π}{12}+φ）=0$，得$\frac{π}{6}+φ=0\;\;\;∴φ=-\frac{π}{6}$，
∴$y=5sin（2x-\frac{π}{6}）$．…（4分）
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，得kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}\;\;（k∈z）$，
∴增區(qū)間是$[{kπ-\frac{π}{6}，\;kπ+\frac{π}{3}}]（k∈z）$，…（8分）
（3）$g（x）=5sin[{2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}}]-2=5sin（2x+\frac{π}{6}）-2$，…（10分）
由$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，可解得g（x）的對稱軸為：$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$．…（12分）

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．