Question

已知A、B分別為曲線C：+y²=1（a＞0）與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)B且與x軸垂直，P為l上異于點(diǎn)B的點(diǎn)，連接AP與曲線C交于點(diǎn)M．
（1）若曲線C為圓，M為圓弧的三等分點(diǎn)，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)N是以BP為直徑的圓與線段BM的交點(diǎn)，若O、N、P三點(diǎn)共線，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）若曲線C為圓，根據(jù)M為圓弧的三等分點(diǎn)，可求出M點(diǎn)坐標(biāo)，則直線AM方程就可求出，在與x=1聯(lián)立，就可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）先設(shè)出M（x，y），可求出直線AM方程，再于直線x=a聯(lián)立，即可得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線OP，BM方程，因?yàn)镹是以BP為直徑的圓與線段BM的交點(diǎn)，且O、N、P三點(diǎn)共線可得OP⊥BM，得到兩直線斜率的關(guān)系，即可解出a的值．
解答：解：（1）當(dāng)曲線C為圓時(shí)，a=1．
由M為圓弧的三等分點(diǎn)，知∠BOM=60°或120°
當(dāng)∠BOM=60°時(shí)，在△PAB中，∠PAB=60°，AB=2，PB=ABtan30°=
∴P（1，）
同理，當(dāng)∠BOM=120°時(shí)，P（1，）
（2）∵A（-a，0），B（a，0），設(shè)M（x，y）
則l_AM：y=（x+a），∴P（a，）
l_OP：y=x，l_BM=（x-a）
∵O、N、P三點(diǎn)共線且N是以BP為直徑的圓與線段BM的交點(diǎn)．∴OP⊥BM
∴k_OP•k_BM=-1
即=-1，得，2y²=a²-x²，即①
又∵點(diǎn)M在曲線C上，∴②
由①②解得a=
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓，與橢圓的位置關(guān)系，做題時(shí)應(yīng)細(xì)心，避免答錯(cuò)．