已知函數(shù)f（x）=ln（ex+a）（a為常數(shù)，e=2.71828…）是R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）討論關(guān)于x的方程數(shù)學(xué)公式的根的個(gè)．

解：（Ⅰ）由f（x）=ln（ex+a）是R的奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
不妨去x=0，可得f（0）=ln（e0+a）=0，解得a=0．…..…..（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=lnex=x，故，
令，則，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，，∴f1（x）在（0，e]上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈[e，+∞）時(shí)，，∴f1（x）在[e，+∞）上為減函數(shù)；
當(dāng)x=e時(shí)，，…．…..（8分）
而，結(jié)合函數(shù)圖象可知：
當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)解；
當(dāng)，即時(shí)，方程有一個(gè)根x=e；
當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)根．…..…..…．（12分）
分析：（Ⅰ）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（-x）=-f（x），令x=0代入可得a值；
（Ⅱ）代入可得，令，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f1（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得最大值，配方可得，結(jié)合函數(shù)圖象可知得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和根的存在性及個(gè)數(shù)的判斷，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問(wèn)：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過(guò)點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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