Question

設(shè)m，k為整數(shù)，方程mx²-2kx+2=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則m+k的最小值為

11

．

Answer 1

分析：設(shè)f（x）=mx²-2kx+2，要使已知方程在區(qū)間（0，1）內(nèi)兩個(gè)不同的根，即f（x）的圖象在區(qū)間（0，1）內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得到關(guān)于m和k的不等式組，利用線性規(guī)劃知識(shí)可以求解．

解答：解：設(shè)f（x）=mx²-2kx+2，由f（0）=2，知f（x）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（0，2），
因此要使已知方程在區(qū)間（0，1）內(nèi)兩個(gè)不同的根，即f（x）的圖象在區(qū)間（0，1）內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
由題意可以得到：必有

m＞0 f(1)=m-2k+2＞0 0＜ k m ＜1 △=4k2-8m＞0

，即

m＞0，k＞0 m-2k+2＞0 m-k＞0 k2-2m＞0

在直角坐標(biāo)系mok中作出滿(mǎn)足不等式平面區(qū)域，如圖所示，
設(shè)z=m+k，則直線m+k-z=0經(jīng)過(guò)圖中的陰影中的整點(diǎn)（7，4）時(shí)，z=m+k取得最小值，即z_min=11．
所以m+k的最小值為11
故答案為：11．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)與二次方程之間的聯(lián)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．